All about Mathematics^^

Haiiiiiii, apa kabar kalian semua? Semoga selalu berada dalam lindungan Tuhan…. Jadi ceritanya kali ini saya akan mengulas sedikit gambaran tentang “apa itu MATRIKS?”. Materi matriks ini kita jumpa di kelas 1 SMA, masih ingat kan? Parah banget sih kalau sampe dilupain wkwk. Yuk langsung ajaaa kita masuk ke materi, selamat belajar^^^^^

Teori Dasar Matriks

Apa sih matriks itu? Matriks merupakan sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom yang ditempatkan didalam suatu kurung.

Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j.

$E = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Dimana, $e_{12} = 56$ adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya. Seterusnya seperti itu sampai pada akhir berapa banyak baris dan kolom yang terdapat pada matriks tersebut yang biasa disebut dengan Ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom.

Contoh :

Matriks A memiliki ordo 2x2. Kemudian matriks B memiliki ordo 2x3, matriks C memiliki ordo 3x1, matriks D memiliki ordo 1x2, serta matriks E memiliki ordo 1x1.

Operasi Matriks

Teman-teman tau ngga operasi matriks gimana? yuk kita pelajari bareng-bareng......

1. Penjumlahan Matriks
Syarat : harus memiliki ordo yang sama, dan menambahkan pada posisi atau letak yang sama.
Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4. Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 tidak bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 4 dan kolom 3. Kesimpulannya, jumlah baris dan kolom antar dua matriks yang akan dijumlahkan harus sama.

2. Pengurangan Matriks
Syarat : Seperti halnya operasi hitung penjumlahan matriks, syarat agar dapat mengurangkan elemen-elemen antar matriks adalah matriks harus memiliki nilai ordo yang sama.

3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Cara melakukan operasi skalar pada matriks adalah dengan mengalikan semua elemen-elemen matriks dengan skalarnya.

4. Perkalian Matriks dengan Matriks
Syarat dua buah matriks dapat dikalikan jika memiliki jumlah kolom matriks pertama yang sama dengan jumlah baris matriks ke dua. Ordo matriks hasil perkalian dua matriks adalah jumlah baris pertama dikali jumlah kolom ke dua.

Jenis-jenis Matriks

Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

Contoh :

Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )

Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

Contoh :

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contoh :

Matriks datar adalah Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

Contoh :

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n, ditulis dengan huruf O.

contoh :

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contah :

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

Contoh :

Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Contoh :

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh :

Matriks Transpos ( notasi At )

Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A.

Gimana? Sudah paham belum? kalau belum ulangi lagi yaaaa, pahami baik-baik. Mungkin cukup sekian materi yang bisa saya berikan, semoga bisa dipahami yaaaaa. See you in the next blog^^^

Holaaaaa, bertemu lagi dengan saya wkwk jangan bosen yaaa:p di blog kali ini saya akan memberikan penjelasan tentang Turunan Fungsi . Yuk langsung ajaaaa....

A. Definisi Turunan Fungsi

=> Turunan fungsi adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

B. Perbedaan Differensial dan Derivative

Diferensial (Perubahan)

Turunan adalah hasil pembagian antara 2 buah diferensial.Sebagai contoh,Jika kita mengatakan bahwa "turunan dari adalah ", maka pernyataan itu adalah BENAR, karena . Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa "diferensial dari adalah ", maka pernyataan itu adalah SALAH. Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: "diferensial dari adalah dikalikan dengan diferensial x" atau dapat ditulis begini:
Lalu, kenapa dinamakan diferensial?Ingat-ingat kembali rumus turunan:
Diferensial adalah selisih variabel (Ingat "difference" dalam bahasa inggris artinya "beda", bukan?).. Sekadar mengingatkan, di rumus di atas, maka x adalah variabel bebas sedangkan y adalah variabel terikat.. Sebenarnya, bisa saja rumusnya begini:
Di atas maka y adalah variabel bebas sedangkan nilai x terikat terhadap variabel y.Jika , maka

Derivative ( Turunan)

         Proses penurunan sebuah fungsi disebut proses pendiferensian atau diferensiasi,merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensiasi dalam pertambahan variable bebas yang sangat kecil atau mendekati nol.
Hasil dari proses pendiferensiasi disebut turunan atau derivative.
Dengan demikian : Jika y = f (x)
Maka kuosien diferensinya : ( kd) :
Dan turunan fungsinya :
Contoh
Persamaan                  y = 4x²– x
Kuosien difrensiasi :   = 8 x + 3 x -1
                                      = 8x +3(0) -1
                                      = 8x – 1
Jadi turunan (derivatif) dari fungsi y = 4 x² – x adalah: 8 x – 1

C. Kaidah-Kaidah Operasional Turunan

D. Rumus Umum Turunan

Jika kalian memepertanyakan darimana kita mendapatkan rumus dasar di atas? Well, keingintahuan yang mengagumkan, kawan. Tetaplah berpikir kritis seperti itu. dan insyaallah akan saya share di postingan saya yang selanjutnya.

Ok, kembali ke pembuktian rumus umum turunan suatu polinom f(x)=xⁿ. Jika f(x) pada rumus dasar turunan di atas kita ganti dengan xⁿ, maka:

Kemudian kira gunakan rumus Binomial Newton untuk menjabarkan (x+ Dx)ⁿ di atas. Dimana kita telah mengetahui bahwa rumus Binomial Newton sebagai berikut:

Dari rumus ini, maka kita dapatkan a=x dan b =Dx, sehingga:

Maka, persamaan (1) di atas menjadi:

Jadi, jika f(x)=xⁿ, maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah f’(x)=n.x^n-1.

E. Turunan Penjumlahan, Selisih, Perkalian, dan Pembagian

Turunan Fungsi Penjumlahan dan Selisih

Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x). Begitu juga bila f(x) = u(x) – v(x), maka f ′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi, jika y = u ±v, maka y' = u' ± v'.

Nah itu teorinya, agar lebih jelasnya, coba anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini

Contoh Soal 1

Carilah f ′(x) jika f(x) = 3x² + 7x

Penyelesaian:

f(x) = 3x² + 7x

Misal:

u = 3x² → u' = 3⋅2⋅x² ^{– 1} = 6x¹ = 6x

v = 7x → v' = 7⋅1⋅x^{1 – 1} = 7x⁰ = 7⋅1 = 7

Jadi jika f(x) = u + v, maka f ′(x) = u' + v' = 6x + 7

Contoh Soal 2

Carilah f ′(x) jika f(x) = –x³ – 8x²

Penyelesaian:

f(x) = –x³ – 8x²

Misal:

u = –x³ → u' = –3x³ ^{– 1} = –3x²

v = 8x² → v' = 8 ⋅ 2⋅ x^{2 – 1} = 16 x¹ = 16x

Jadi jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u' – v' = –3x² – 16x

Turunan fungsi yang berbentuk y = u⋅ v

Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x)⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x). Jadi jika y = u⋅ v, maka y' = u' v + u v'.

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1

Carilah y′ jika y = x(5x + 3)

Penyelesaian:

Cara 1:

y = x (5x + 3)

y = 5x² + 3x

y' = 5 ⋅ 2x^{2 – 1} + 3 ⋅1 x^{1 – 1}

y' = 10x¹ + 3 ⋅ x⁰

y' = 10x + 3 ⋅ 1

y' = 10x + 3

Cara 2:

y = x(5x + 3)

misal:

u = x → u' = 1

v = 5x + 3 → v' = 5 + 0 = 5

Jadi jika y = u⋅ v, maka

y' = u' v + u v'

y' = 1 (5x + 3) + x (5)

y' = 5x + 3 + 5x

y' = 10x + 3

Contoh soal 2

Carilah y ′ jika y = 3(2x + 1) x²

Penyelesaian:

Cara 1:

y = 3(2x + 1) x²

y = 6x³ + 3x²

y' = 6 ⋅ 3x^{3 – 1} + 3 ⋅2 x^{2 – 1}

y' = 18x² + 6x

Cara 2:

y = 3(2x + 1) x²

y = (2x + 1) 3x²

misal:

u = 2x + 1 → u' = 2

v = 3x² → v' = 6x

Jadi jika y = u⋅ v, maka

y' = u' v + u v'

y' = 2 ⋅ 3x² + (2x + 1) 6x

y' = 6x² + 12x² + 6x

y' = 18x² + 6x

Turunan fungsi yang berbentuk y = u/v

Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x²+3x)/(5x + 3). Apakah caranya sama seperti perkalian turunan fungsi? Jika y = f(x) = u(x)/v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = (u'(x)⋅ v(x) - u(x) ⋅ v'(x))/ v(x)². Jadi jika y = u/v, maka y' = (u'v + uv')/v².

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi

Carilah turunan pertama dari y = (3x+1)/(4x-3)

Penyelesaian:

y = (3x+1)/(4x-3)

misal:

u = 3x – 2 → u' = 3

v = 5x + 6 → v' = 5

Jika y = uv, maka

y' = (u′ v - uv′)/v²

y' = (3(5x+ 6) - (3x - 2)5)/(5x+6)²

y' = ((15x+ 18) - (15x - 10))/(5x+6)²

y' = 28/(5x+6)²

Turunan fungsi yang berbentuk y = uⁿ

Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x²+3x)¹². Bagaiman cara mencari turunan fungsi seperti soal tersebut? Jika y = f(x) = u(x)ⁿ, di mana turunan dari u(x) adalah u'(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ′(x) = n.u′(x).u(x)^n-1⋅ Jadi jika y = uⁿ, maka y' = n.u'.u^n-1

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi Pangkat

Carilah turunan pertama dari y = (2 + 5x²)⁵

Penyelesaian:

y = (2 + 5x²)⁵

misal :

u = 2 + 5x² → u' = 10x

Jika y = uⁿ, maka

y' = n. u'.u^{n – 1}

= 5. 10x (2 + 5x²)^{5 – 1} ⋅

= 50x(2 + 5x²)⁴

F. Turunan Trigonometri

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

f(x) = sin x → f ‘(x) = cos x
f(x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
f(x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
f(x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x
f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
f(x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I

Misalkan u merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ adalah turunan u terhadap x, maka :

f(x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’
f(x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
f(x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
f(x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
f(x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
f(x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II

Berikut ini adalah turunan dari fungsi-fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 :

f(x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
f(x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
f(x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
f(x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
f(x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
f(x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Nah, agar kita lebih mudah menghafal sifat trigonometri diatas, mari kita kerjakan beberapa contoh soal sin cos tan dan turunan trigonometri berikut ini.

Contoh Soal Turunan Trigonometri

1.) Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) = …..

Jawab :

* ingat $f(x) = {\color{Red} a.cos\:(bx+c)}\;\;\;\;maka \;\;\;\;f'(x)= {\color{Red} -ab.sin\:(bx+c)}$

* maka:

$\begin{align*}f(x) & = & 7 cos (5 - 3x)\\f'(x) & = & -7.(-3).sin(5-3x)\\ & = & 21\;sin(5-3x) \end{align*}$

2.) Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …

Jawab :

* $f (x) = {\color{Red} (3x-2)}\;{\color{DarkGreen} sin( 2x + 1 )}$ kita misalkan terlebih dulu

$\begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 3x-2} & maka & u'=3 \\v={\color{DarkGreen} sin(2x+1)} & maka & v'=2\;cos(2x+1) \end{array}$

* ingat rumus turunan perkalian dua fungsi :

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 3.{\color{DarkGreen} sin(2x+1)}+2cos(2x+1).({\color{Red} 3x-2})\\ & = & 3\;sin(2x+1)+(6x-4)\;cos(2x+1) \end{array}$

3.) Turunan pertama fungsi f (x) = 5 sin x cos x adalah f ‘ (x) = …

Jawab :

* $f (x) = {\color{Red} 5\;sin\;x}\;{\color{DarkGreen} cos\;x}$ kita misalkan terlebih dulu

$\begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 5sin\;x} & maka & u'=5cos\;x\\v={\color{DarkGreen} cos\;x} & maka & v'=-sin\;x \end{array}$

* ingat rumus turunan

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 5cos\;x.{\color{DarkGreen} cos\;x}+(-sin\;x).({\color{Red} 5sin\;x})\\ & = & 5\;cos^2x-5\;sin^2x\\ & = & 5(cos^2x-sin^2x)\\ & = & 5.cos\;2x \end{array}$