SISTEM BILANGAN REAL & HIMPUNAN

  A.    Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real dan operasi aljabar yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasanya bilangan real dinyatakan dengan lambang R .

Bilangan Real terbagi menjadi 2 yaitu bilangan rasional dan irasional.

1. Bilangan Rasional.

Apabila kita mengatakan bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakub bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan pecahan. 

a. Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan positif. Contoh bilangan bulat  -3,-2,-1,0,1,2,3,….

b. Bilangan asli adalah bilangan bulat positif. Contoh bilangan asli 1,2,3,4,5,6,7,8,….

c. Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif digabung dengan nol. Contoh bilangan cacah 0,1,2,3,4,5,6,7,….

d. Bilangan Prima adalah bilangan-bilangan asli yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan satu, atau bilangan yang memiliki 2 faktor, dan angka satu bukan bilangan prima. Contoh bilangan prima 2,3,5,7,11,13,17,….

e. Bilangan Pecahan adalah suatu bilangan yang merupakan hasil bagi antara bilangan bulat dan bilangan asli. Contoh bilangan pecahan 1/2, 3/4, 5/6,..... 

 

2. Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak rasional. Bilanganirasional bukan merupakan bilangan bulat dan juga bukan merupakan bilangan pecahan. Conroh bilangan Irrasional √3 = 1,732050807 

   B. Himpunan(Sets) adalah  kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan.

1. Himpunan Universal (Semesta)

Himpunan universal dilambangkan dengan U adalah himpunan yang memenuhi  

Contoh:

2. Himpunan Kosong

Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, yang dilambangkan dengan Φ  atau {}.
Contoh : B = {bilangan ganjil yang habis dibagi 2}. Tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

• Obyek-obyek yang membentuk suatu HIMPUNAN disebut anggota-anggota atau Anggota saja.
• Obyek-obyek suatu HIMPUNAN bisa berupa orang-orang tertentu, hewan-hewan, benda-benda tertentu, angka-angka tertentu, dan lain-lain.
• Suatu HIMPUNAN dilambangkan dengan huruf besar. Misal A,B,C,...
• Sedangkan ANGGOTA dilambangkan dengan huruf kecil. Misal a,b,c,d,... 

Notasi  Himpunan

Simbol-Simbol Baku 

• P adalah bilangan bulat positif
• N adalah bilangan asli
• Z adalah bilangan bulat
• Q adalah bilangan rasional
• R adalah bilangan rill
• C adalah bilangan kompleks
• U adalah bilangan universal atau semesta

Penyajian Himpunan

1) Pendaftaran(Tabular-Form/Enumeration) yaitu dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut di dalam kurung kurawal. Contoh : Himpunan A = {Jakarta, Medan, Surabaya}

2) Pencirian(Set-Builder Form/description) yaitu dengan menuliskan sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut. Contoh Himpunan S = {X|X adalah bilangan genap}
3) Diagram Venn
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram Venn.


Hukum dan Teori Himpunan

1. Himpunan Berhingga (Finite set) Vs Himpunan Tak Berhingga (Infinite set)
2. Pencatatan anggota-angota yang sama, dihitung sekali
3. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan hampa/kosong (empty/null set) dinyatalan dengan simbol Φ
4. Himpunan A dan B dikatakan sama, A=B bila mereka mempunyai ordo dan anggota-anggota yang sama
5. Dua himpunan disebut saling lepas (saling asing/disjoint) bila tidak mempunyai anggota bersama

Operasi-Operasi dalam Himpunan

1. Irisan (intersection)
Irisan dari himpunan A dan B adalah sebah himpunan yang setiap elemen nya merupakan bagian dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Contoh : Jika A = {3, 6, 9, 12} dan B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, maka A ∩ B = {6, 12}

2. Gabungan (union)
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Contoh : Jika A = {1, 5, 8} dan B = {7, 10, 15}, maka A ∪ B = {1,5,7,8,10,15}

3. Selisih (difference)
Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Operasi selesih hanya mengambil bagian yang tidak terdapat pada pasangan himpunan nya.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }

Contoh : {3, 7, 9} – {3, 6, 7} = {9}

4. Komplemen (complement)
Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : Ā = {x | x ∈ U dan x ∉ A}

Contoh :  Misalkan U = {1,2,3,..10}

a. Jika A = {2,4,6,8,10}, maka Ā = {1,3,5,7,9}

5. Beda-Setangkup (symmetric difference)
Operasi beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemen nya ada pada himpunan A dan B tetapi tidak pada keduanya. Dengan kata lain, operasi beda setangkup mengambil semua bagian yang berbeda dari kedua himpunan.

Notasi : A ⊕ B = (A ∪ B)– (A ∩ B)

Contoh :  Jika A = {3,5,6} dan B = {2, 5,7}, maka

   A ⊕ B = {2,3,6,7}

Terimakasih.
Semoga Bermanfaat.