HUBUNGAN(RELASI) DAN FUNGSI(FUNCTION)

Hallooooooo bertemu lagi dengan saya^^
Kalian masih ingatkan materi kemarin tentang "Sistem Bilangan Real dan Himpunan"?. Nah hari ini saya akan membagikan materi selanjutnya yaitu "Hubungan dan Fungsi". Tapi sebelum masuk ke materi saya akan mengulas sedikit materi tentang Bilangan Real dan tambahan materi yaitu tentang Pasangan Berurutan(Ordered Pairs) dan Kuadran(Hyperplanes).

A. Garis dan Bilangan Riil
Setiap garis lurus menyatakan :

1. Himpunan semua bilangan rill (dengan notasi R) karena garis lurus memuat semua bilangan riil yang terdiri dari : 

• Bilangan Rasional(bulat dan pecahan)
• Bilangan Irrasional

     2.  Suatu Variabel, karena variabel adalah sesuatu yang dapat dinyatakan dengan angka atau nilai dari bilangan Riil.
     3.  Setiap bilangan riil merupakan titik di atas garis lurus(the real lines)

B. Pasangan Berurutan(Ordered Pairs)

1. Pasangan tidak berurutan(Unordered Pairs) merupakan dua set yang sama karena mempunyai elemen yang sama tetapi tidak memperdulikan kesamaan urutan atau order elemen masing-masing set. Contoh :  Menyebut anggota dalam suatu pertandinagan tanpa urutan. Misal Dandi dan Dhimas adalah anggota sepakbola. Jadi apabila menyebutkan Dhimas dan Dandi adalah anggota sepakbola tidak masalah.
2. Pasangan berurutan(Ordered Pairs) meupakan dua set yang tidak sama (walaupun memiliki elemen yang sama), karena urutan atau order elemen masing-masing set tidak sama, kecuali apabila a = b. Contoh :  Untuk set dengan elemen ordered pair, dimana elemen pertama untuk umur dan elemen kedua untuk berat, tentu akan beda antara set {45, 60} dan {60, 45}. 

C. Ordered Pairs Pada Kuadran
4 (empat) kuadran (quadrant) I, II, III, IV, atau disebut the xy plane, dimana :

•   Kudran I dimana terdapat jumlah tak terbatas dari ordered pairs dengan urutan +x (angka x positif) dan +y (angka y positif). 
•    Kuadran II dimana terdapat jumlah tak terbatas dari ordered pairs dengan urutan −x (angka x negatif) dan +y. 
•  Kuadran III dimana terdapat jumlah tak terbatas dari ordered pairs dengan urutan −x dan −y (angka y negatif).  
•  Kuadran IV dimana terdapat jumlah tak terbatas dari ordered pairs dengan urutan +x dan −y
  
   Titik-titik kombinasi dari titik x pada sumbu/garis x dan titik y pada sumbu/garis y secara berurutan, disebut the xy ordered pairs. Misal, titik kombinasi atau the xy ordered pair (6,8) berbeda dengan the xy ordered pair (8,6). 
   

Nah sekarang kita masuk ke materi yaaaa...

Hubungan dan Fungsi

A. 1. Hubungan(Relasi) adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana A disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan).
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Untuk mengerjakan soal Relasi terdapat tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. 

1. Diagram Panah  

 

    2. Diagram Cartesius

 

   3. Pasangan Berurutan

{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}

2. Hubungan pada The Cartesian Product

Setiap titik atau ordered pair pada the xy plane atau the Cartesian product menunjukkan terjadi hubungan (relation) :
         "Antara setiap bilangan riil atau titik pada garis atau variabel x dengan bilangan riil atau titik pada garis atau variabel y, jadi, terdapat set (x, y) atau ordered pair atau titik pada the xy plane sebagai dari hasil hubungan (asosiasi) atas dasar suatu aturan dari setiap bilangan atau angka x dengan bilangan atau angka y."

Misal pada Diagram 1. di atas : 

•  Titik (x, y) = (1,2) di kuadran I, menunjukkan bahwa atas dasar suatu aturan, maka untuk x =1 mempunyai hubungan dengan y = 2. 

• Juga titik (x, y) = (−2, 1) di kuadran II menunjukkan hubungan x = − 2 dengan y = 1 berdasarkan suatu aturan

3. Sifat Hubungan pada The Cartesian Product

1. Hubungan bukan bersifat satu-satu atau kausal. Dengan hubungan ini, maka atas dasar suatu aturan satu bilangan dari set x  akan berhubungan atau menghasilkan lebih dari satu bilangan dari set y. Jadi hubungan tidak bersifat kausal atau satu-satu (one-to-one relation). Suatu aturan dimaksud disebut sebagai hubungan (relation atau a  multivalued function). 
2. Hubungan merupakan fungsi bila hubungan bersifat satu-satu atau kausal (one-to-one relation or correspondence, atau unique relation). Dengan hubungan ini, maka atas dasar suatu aturan satu bilangan dari set x akan berhubungan atau menghasilkan hanya satu bilangan dari set y. Jadi hubungan bersifat kausal atau satu-satu (one-to-one relation). Suatu aturan dimaksud disebut sebagai fungsi (function) atau a single-valued function

 B.1. Fungsi(Function) adalah aturan yang mengubungkan setiap anggota A tepat satu ke anggota himpunan B (Relasi Khusus). Jadi,
Perbedaan yang mendasar antara Fungsi dan Relasi adalah :
Untuk Fungsi : tiap anggota A hanya mempunyai pasangan 1 saja di B.
Tetapi untuk Relasi : Tiap anggota A boleh mempunyai pasangan lebih dari 1 di B.

 2. Penulisan (notasi) fungsi
Fungsi, misalnya untuk 2 variabel x dan y, ditulis dengan notasi   y = f(x) → baca y adalah fungsi dari x. Jadi y sebagai variabel yang ditentukan (dependent variable,), sedangkan x adalah variabel penentu (independent variable) terhadap y. 

3. Sifat-sifat Fungsi

1.        Fungsi Into

 Fungsi f : A → B disebut Into jika ada anggota B tidak mempunyai pasangan dengan anggota A.

2.        Fungsi Onto ( Surjektif )

Fungsi f : A → B  disebut onto jika setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3.        Fungsi Satu-Satu ( Injektif )

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f : A→B adalah fungsi injektif . ( Untuk anggota B yang mempunyai pasangan dengan Anggota A, pasangan tersebut hanya satu ).

4.        Fungsi Korespondensi Satu-satu ( Bijektif )

Fungsi f : A → B  disebut korespondensi satu-satu jika fungsi tersebut injektif dan sekaligus  surjektif.

4. Jenis-jenis Fungsi

 A. Berdasarkan letak variabel bebas (independent variables), terdapat 2 jenis fungsi sebagai berikut. 

1. Fungsi eksplisit (explicit function)

Fungsi eksplisit (explicit function) adalah fungsi dimana (variabel bebas) independent variables berada di sebelah kanan, karena itu independent variables juga disebut right hand variables.Misal :

 Fungsi :   y = f(x) 

 Bentuk fungsi explicit :  y = x2;    y = a + bx;    y = 3 x  

2. Fungsi implicit (implicit function)

Fungsi implisit (implicit function) adalah fungsi dimana independent variables bersama-sama dependent variable berada di sebelah kiri, sedangkan di kanan angka 0. Misal  :

 Fungsi :   g(y,x) = 0 

  Bentuk fungsi implicit :  ax + b – y = 0;  x2 + y2 = 0;                    

                                           ey + y – x + ln x = 0;    y  mx  b = 0 

Selain itu terdapat beberapa jenis fungsi lainnya seperti dibawah ini.

1.FUNGSI ALJABAR ,yaitu fungsi yang menggunakan operasi-operasi         penjumlahan,pengurangan,perkalian,pembagian, dan penarikan akar.

Contoh:

a.Fungsi irasional,yaitu fungsi yang variable bebasnya terdapat dibawah tanda akar. Misal f(x)=√x , g(x)= √x+1+3

b.Fungsi Rasional,yaitu fungsi yang variable bebasnya berpangkat bilangan bulat. Fungsi rasional meliputi fungsi:

• Fungsi polinom (suku banyak) memiliki bentuk  

     f(x)=a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +….+ a₂x² + a₁x + a_0,   

     dengan  a_n , a_n-1 , …,a₂ , a_{1 ,} a₀

     adalah bilangan real a_n ≠ 0, a₀=konstanta dan n bilangan bulat

     Fungsi polinom berderajat n misalkan, f(x)=2x³+4x²+6x-5   

• Fungsin kubik, yaitu fungsi yang berpangkat 3. Misalkan

    F(x)=x³ adalah fungsi kubik yang paling sederhana.   

• Fungsi kuadrat, suatu fungsi yang berbentuk f(x)=ax²+bx+c,

    Dengan a,b,c konstanta dan a≠o. Dimana grafiknya berbetuk

    Parabola,domain fungsi ini adalah D_f=R.

•   Fungsi linear,suatu fungsi yang ditentukan oleh f(x)=ax+b,

    Dengan a dan b konstanta dan a≠0. Kurva fungsi linear adalah
    Garis y=ax+b yang selalu melalui titik (0,b) dan (a/b,0).

•   Fungsi pangkat, dinyatakan dengan y=f(x)=xⁿ, dengan n

    Bilangan asli. Jika n=2→grafiknya berbentuk parabola

                                    n=3→grafiknya berbebtuk parabola kubik

                                    n=4→grafiknya parabola kuadrat

   bentuk umum dari fungsi pangkat:y=f(x)=xⁿ, y=f(x)=axⁿ,

2. FUNGSI TRANSENDEN,yaitu fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.

   ●Contoh:

        a.Fungsi eksponen,fungsi yang variable bebasnya menjadi pangakat dari suatu

        bilangan . Bentuk umum y=f(x)=a^x, dengan a≠0,a≠1, dan a Є R.

     b. Fungsi logaritma, dengan bilangan pokok a>0 dan a≠1 adalah invers dari fungsi  

         eksponen

         dengan bilangan pokok a. Fungsi eksponen y=g(x)=a^x, inversnya adalah fungsi

         logaritma y=f(x)=^alogx ; a>0 , a≠1, x>0.

    c. Fungsi trigonometri,yaitu fungsi yang meliputi f9x)=sin x , f(x)=cos x ,f(x)=tan x

        dimana  x menyatakan besar suatu sudut (radian atau drajat).

3.FUNGSI KHUSUS

   ● Contoh

      a. Fungsi Konstan, Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam    

        rumus f(x) = c, dengan c suatu konstanta. Fungsi konstatn f memasangkan setiap

          bilangan real dengan konstanta c.

     b. Fungsi identitas, Fungsi I:A─>A yang ditentukan oleh I(x) disebut fungsi identitas

          pada A.Fungsi I memasangkan setiap elemen daerah asal dengan dirinya sendiri.

          contoh: garis y=x yang melalui titik pangkal O(o,o)

     c. Fungsi modulus, fungsi f:x─>│x│ atau f(x) yang ditentukan oleh:     

            f(x)=│x│=   x,jika x ≥ 0

                                -x,jika x <0

          Contoh: modulus y =│x│

    

    d. Fungsi parameter, fungsi dengan parameter diantaranya adalah x=at+b,

         y=2t² +c, dengan t adalah parameter yang menetapkan fungsi itu.

4. FUNGSI GENAP dan GANJIL

    a. Fungsi genap, jika f(-x)=f(x), maka grafik tersebut simetri terhadap sumbu y .

        Fungsi yang demikian disebut fungsi genap.

    b. Fungsi ganjil, jika f(-x)=f(-x), maka grafik tersebut simetri terhadap titik asal

        O(0,0). Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil.

    c. Bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil, jika f(-x)≠f(x) dan f(-x)≠f(-x), maka

        grafiknya tidak simetri terhadap titik asal. 

5. FUNGSI PERIODIK, fungsi f dengan domain R dikatakan fungsi periodik apabila

    Terdapat bilangan k≠0, sehinga f (x+k)=f(x), dengan x Є R. Bilangan positif k terkecil

    Yang memenuhi f(x+k)=f(x) disebut periode dasar fungsi itu.

Sekian materi yang dapat saya berikan. 

Semoga Bermanfaat:)